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En notant ρ e i θ, avec e i θ = cos(θ)+i sin(θ) on obtient une nouvelle écriture des nombres complexes :
Cette exponentielle possède bien sûr les mêmes propriétés que la fonction exponentielle.
ρ est le module du nombre complexe et θ l'argument. Pour trouver ces deux nombres à partir de l'écriture z=a+i b on utilise les formules suivantes qui dérivent directement du Théorème de Pythagore et de la trigonométrie :
$ρ = √{a^2+b^2}$ et $θ=arctan(b/a)$ si z n'est pas un imaginaire pur, i.e. a≠0
Exemple : 3 + 5 i = ?
$ρ = √{3^2+5^2}=√{34}$ et $θ=arctan(5/3) ≈1,03 rad$ donc
3 + 5 i ≈ $√{34}e^{1,03i}$.
Pour convertir l'écriture exponentielle c'est trivial : $a=ρcos(θ)$ et $b=ρsin(θ)$.
De nombreux problèmes sont plus faciles à résoudre avec cette notation !