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Une équation du second degré est de la forme: $ax^2+bx+c=0$. Résoudre cette équation c'est trouver (s'ils existent) tous les nombres qui vérifient cette équation. De tels nombres s'appellent les racines du trinôme $ax^2+bx+bc$.
Pour résoudre une équation du second degré il y a deux étapes:
1ère étape: on calcule le discriminant (voir plus bas)
2ème étape: en fonction du signe du discriminant on trouve les réponses s'il y en a.
Le discriminant se note Δ (delta) et $Δ=b^2-4ac$.
En fonction de la valeur Δ, on résout l'équation.
Δ<0 | Δ=0 | Δ>0 |
pas de solution | une solution double | deux solutions distinctes |
$x_0=-b/{2a}$ | $x_1={-b-√Δ}/{2a}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}$ |
Avec ce résultat, résoudre une équation du second degré devient un acte simple et mécanique.
A noter que le signe de a et de Δ vous donne aussi de précieuses informations sur la courbe représentative de la fonction. Si Δ<0 cela signifie que la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses. Donc si a>0, cela veut dire que la courbe est au dessus...etc etc...
On sait aussi que si Δ>0, la courbe coupe l'axe des abscisses en $x_1$ et $x_2$.
Tout cela peut nous permettre de résoudre des inéquations du type $ax^2+bx+x<0$
Exercice 1: résoudre $7x^2-5x+3=0$
$Δ=(-5)^2-4×7×3=-59$, il n'y a aucune solution
Exercice 2: résoudre $3x^2-6x+1=0$
$Δ=(-6)^2-4×3×1=24$. Il y a donc deux racines :
$x_0={-(-6)-√{24}}/{2×3}$ et $x_1={-(-6)+√{24}}/{2×3}$
$x_0={6-√{24}}/{6}$ et $x_1={6+√{24}}/6$