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EXOMATH, Logarithme n��p��rien

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Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est la fonction inverse de la fonction exponentielle. Elle est crée comme étant la fonction solution de l'équation $e^t=x$ avec $t$ comme inconnue et $x>0$ (puisque la fonction exponentielle est strictement positive) et alors on note $t=ln(x)$.

Il en suit les propriétés suivantes:

Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$

Pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$

La fonction ln est continue, dérivable, strictement croissante sur $]0;+∞[.

On a: $\ln'(x)=1/x$.

Voici quelques propriétés évidentes ou faciles à mémoriser si l'on a en tête la courbe représentative de la fonction logarithme népérien:

$\ln(a)=\ln(b)⇔a=b$ et $\ln(a)<\ln(b)⇔a<b$

A retenir aussi: $\ln(a)<0⇔0<a<1$

$\ln(a)=0⇔a=1$

$\ln(a)>0⇔a>1$.

La fonction logarithme croit de moins en moins vite. Sa courbe représentative est symétrique à la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation y=x.

Voici les propriétés de la fonction logarithme népérien:

Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs:

$\ln(a×b)=\ln(a)+\ln(b)$

$\ln(1/a)=-\ln(a)$

$\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$

$\ln(a^n)=n\ln(a)$

$\ln(√a)=1/2a$

 

Voici les limites comparées:

$\lim↙{x→0}{x\ln(x)=0$

$\lim↙{x→+∞}{\ln(x)}/x=0$

$\lim↙{x→0}{\ln(1+x)}/x=1$

D'après la leçon sur les fonctions composées, $\ln'(u)={u'}/u$.

Enfin, on peut caractériser autrement la fonction logarithme népérien. En effet, c'est la fonction solution de l'équation fonctionnelle sur $]0;+∞[ de $f(x×y)=f(x)+f(y)$ est $k\ln(x)$ où $k$ est un réel à déterminer.

On définit à partir du logarithme népérien le logarithme décimal par $\log(x)={\ln(x)}/{\ln(10)}$. Cette fonction admet les mêmes propriétés que la fonction logarithme népérien et de plus, $\log(10^x)=x$.