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EXOMATH, Fonctions trigonom��trique

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Fonctions de trigonométrie

On a vu au collège le cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu. On connaît donc le cosinus d'un nombre entre 0 et 90 degrés.

Cela ne suffit pas pour en faire des fonctions définies sur l'ensemble des réels.

Introduisons tout d'abord le cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 auquel on donne un sens. On tourne sur ce cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre: on appelle ce sens, le sens positif. Le cercle est dit orienté dans le sens positif.

La longueur d'un cercle de rayon étant $2π$, on dit qu'un angle de 360° est équivalent à $2π$ radians: c'est une nouvelle unité d'angle bien plus logique pour les calculs mais peu pratique pour mesurer un angle (d'où le degré).

Il est évident que si je fais un tour, je retombe au même endroit. Si on parle en radian, un angle de $α$ sera représenté de la même façon qu'un angle $α+2kπ$, $k$ étant un relatif qui indique donc le nombre de tour dans un sens ou l'autre.

Puisque le rayon du cercle est 1, les coordonnées d'un point du cercle sont ($cos(x),sin(x)$). (c'était vrai en 3ème avec un angle entre 0 et 90° soit entre 0 et $π/2$ rad). On généralise cela grâce au cercle trigonométrique.

Ainsi par exemple:

Ici un angle de $π/4$ radian (équivalent à 45°), on peut lire que le cosinus et le sinus sont positifs. On peut aussi dire que $cos(π/4)=cos(π/4+2π)=cos(π/4+4π)...$

Si l'angle est compris entre $π/2$ et $π$ (à $2kπ$ près), le cosinus devient négatif et le sinus reste positif.

Si l'angle est compris entre $π$ et ${3π}/2$ le cosinus et le sinus sont négatifs

Si l'angle est entre ${-π}/2$ et 0 (on peut aussi dire entre ${3π}/2$ et ${2π}$!) alors le cosinus est positif et le sinus négatif.