Les intervalles

Il existe différentes manières de noter un intervalle. Vous avez déjà du rencontrer quelques notations en statistiques lors du regroupement en classe.

Voyons tout d'abord un nouveau symbole : ∞. Ce symbole veut dire "infini". On note $+ ∞$ pour indiquer que l'on peut prendre des nombres aussi grands que l'on veut. Pour descendre dans les négatifs aussi loin qu'on le souhaite, on note $- ∞$.

Il existe trois façons de noter un intervalle.

- par un encadrement

- par une représentation sur la droite graduée

- par un intervalle.

 

Prenons par exemple un encadrement :

On choisit x, nombre réel, tel que 3<x≤5. Remarquons qu'il y a un inférieur strict et un inférieur ou égal...cela a son importance. x ne peut pas valoir 3 mais x peut être égal à 5. Représentons cet encadrement sur une droite graduée :

Que signifient ces crochets? dans quel sens les orienter ? Ce n'est pas très difficile. Vous pouvez imaginer votre main faire ce crochet. Que se passe-t-il sur 3? votre main n'attrape pas le segment orange, cela veut dire que 3 ne fait pas parti de l'intervalle...on commence juste après 3. Attention, le crochet est quand même placé sur le 3.

Pour le 5, votre main attrappe le segment orange, donc le 5 fait parti de l'intervalle. Plus généralement, si on tourne le dos à l'intervalle cela signifie que ce nombre n'en fait pas parti.

Pour passer à la notation intervalle, on utilise ces crochets : ici on a $x∈]3;5]$. On rappelle que ∈ veut dire "appartient.

L'infini ne peut pas être "attrappé, les crochets tournent donc toujours le dos à l'infini: $x∈]3;+∞[$ ou $x∈]-∞;7[$.

Sur une droite graduée il n'y aura pas de crochet pour indiquer l'infini !

Exemples :

$x∈]3;+∞[ s'écrit aussi 3<x (on n'écrit surtout pas x<+∞ ce serait absurde) et se représente:

$x∈]-∞,3]$ s'écrit aussi x≤3 et se représente:

Exercice : est-ce que $8∈]8,13]$? non il faut être plus grand que 8; par exemple 8,1 ou 8,00001 ou 9 etc...

Est-ce que $13∈]8,13[$? non, il faut être juste en dessous de 13, par exemple 12,9999.

Est-ce que $7∈[8,+∞[$? non, il faut être supérieur ou égal à 8.

Combien il-y-a-t-il de nombres dans l'intervalle [4;8[. Réponse: dans l'ensemble des réels, il y a une infinité de nombres. Dans l'ensemble des entiers il y a 4 nombres (4;5;6;7).