Limite d'une fonction
On dit qu'une fonction $f$ définie sur ]a;+∞[ a pour limite le nombre réel $l$ si l'on peut être aussi proche que l'on veut de $l$ pour $x$ assez grand.
Voici la définition de la limite:
Si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les $f(x)$ dès que $x$ est "assez grand", on dit que la fonction $f$ admet pour limite $l$ en $+∞$ et on note:
$$ \lim↙{x→+∞}f(x)=l$$.
Graphiquement, lorsque $ \lim↙{x→+∞}f(x)=l$, la courbe représentative de $f$ devient "aussi proche que l'on veut" de la droite d'équation $y=l$ lorsque $x $ est "assez grand". On dit que la droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de $f$/.
Voici quelque limites à connaître (n entier positif):
$ \lim↙{x→+∞}1/x=0$.
$ \lim↙{x→+∞}1/{√x}=0$.
$ \lim↙{x→+∞}1/{x^n}=0$.
$ \lim↙{x→-∞}1/{x}=0$.
$ \lim↙{x→-∞}1/{x^n}=0$.
Parfois une fonction ne cesse de croitre sans jamais atteindre de borne supérieure. Dans ce cas, on dit que la limite de la fonction en +∞ est +∞. $f(x)$ peut être aussi grand que l'on veut.
Définition: Si tout intervalle de la forme ]a,+∞[ contient tous les $f(x)$ lorsque $x$ est suffisamment grand" alors $f$ admet pour limite +∞ en +∞. On note: $$ \lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$$.
On peut aussi s'intéresser à la limite d'une fonction en un nombre réel $a$ qui est une borne de l'ensemble de définition de $f$ et qui n'appartient pas à cet ensemble. Par exemple, la fonction $f(x)=1/x$ n'est pas définie en 0. Que se passe-t-il lorsque l'on se rapproche infiniment près de 0 par la droite cad sur ]0;∞[ ?
Si $f(x)$ est aussi grand que l'on veut" dès que $x$ est assez proche de $a$, on dit que $ \lim↙{x→a}f(x)=+∞$. (idem en -∞).
Lorsqu'une fonction $f$ admet une limite infinie en un réel $a$, on dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale de la courbe représentative de $f$.
Voici quelques limites à connaître:
$ \lim↙{\table x→0;x>0}1/x=+∞$, on dit que la limite à droite de 0 est +∞
$ \lim↙{\table x→0;x<0}1/x=-∞$, on dit que la limite à gauche de 0 est -∞
La limite à gauche et à droite ne sont pas forcément les mêmes...sinon on écrirait directement $ \lim↙{x→0}....$.
$ \lim↙{\table x→0;x>0}1/x^n=+∞$, mais
$ \lim↙{\table x→0;x<0}1/x^n=\{ \table +∞ \text " si n est pair";-∞ \text " si n est impair" $
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