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EXOMATH, Op��rations sur les limites

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Opérations sur les limites

On peut facilement trouver la limite de certaines fonctions lorsque celles ci sont construites avec les opérations +,-,X ou : .

Parfois cela ne suffit pas et il faudra alors lever l'indétermination autrement.

Dans la suite, $a$ désigne un réel ou +∞ ou $-∞$. $l$ et $L$ désignent des réels.

$ \lim↙{x→a}f(x)$
$ \lim↙{x→a}g(x)$
$ \lim↙{x→a}(f+g)(x)$
$ \lim↙{x→a}(fg)(x)$
$l$
$L$
$l+L$
$l×L$
$l≠0$
$+∞$
$+∞$
$\table +∞ \text" si l>0";-∞ \text " si l<0"$
$l≠0$
$-∞$
$-∞$
$\table -∞ \text" si l>0";+∞ \text " si l<0"$
0
$+∞$
$+∞$
???
0
$-∞$
$-∞$
???
$+∞$
$+∞$
$+∞$
$+∞$
$-∞$
$-∞$
$-∞$
$+∞$
$+∞$
$-∞$
???
$-∞$

Limite d'un quotient:

$ \lim↙{x→a}f(x)$
$ \lim↙{x→a}g(x)$
$ \lim↙{x→a}(f/g)(x)$
l$$
$L≠0$
$l>0$
$\table 0^{+};0^{-};$
$\table +∞;-∞;$
$l<0$
$\table 0^{+};0^{-};$
$\table -∞;+∞;$
$0$
$0$
???
$l≥0$
$\table +∞;-∞;$
$\table 0^{+};0^{-};$
$l≤0$
$\table +∞;-∞;$
$\table 0^{-};0^{+};$
???

On peut parfois trouver la limite d'une fonction en l'encadrant par des fonctions qui ont la même limite.

Si pour tout réel $x$ voisin de $a$:

$f(x)≤g(x)≤h(x)$ et si $\lim↙{x→a}f(x)=\lim↙{x→a}h(x)=l$ alors$ \lim↙{x→a}g(x)=l$.

$f(x)≤g(x)$ et si $\lim↙{x→a}f(x)=+∞$ alors $\lim↙{x→a}g(x)=+∞$.

$g(x)≤h(x)$ et si $\lim↙{x→a}h(x)=-∞$ alors $\lim↙{x→a}g(x)=-∞$.