Voici les trois formules à connaître par cœur et dans les deux sens.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
De gauche à droite on développe, de droite à gauche on factorise.
Exemples, développer:
$\table (3x+2)^2,=,(3x)^2+2×3x×2+2^2;,=,9x^2+12x+4;$
$\table (4-5x)(4+5x),=,4^2-(5x)^2;,=,16-25x^2;$
Les élèves sont très gênés par ce $(3x)^2$ qui devient $9x^2$. $3x$ joue le rôle de 'a' dans la formule et 'a' doit être mis au carré. Pour mettre $3x$ au carré, il faut mettre le 3 au carré et le $x$ au carré.
Il faut se souvenir que dans $9x^2$, seul le $x$ est au carré.
Exemples de factorisation:
$10^2-2×10×7x+(7x)^2$. On reconnaît clairement le côté droit de la 2ème formule. On peut donc retourner vers le côté gauche !
$10^2-2×10×7x+(7x)^2=(10-7x)^2$
$49+70x+25x^2=7^2+???+(5x^2)$ si tout va bien on doit avoir $???=2×7×5x=70x$. Si oui, on applique la formule 1:
$\table 49+70x+25x^2,=,7^2+2×7×5x+(5x^2);,=,(7+5x)^2$
$\table 81-16y^2,=,9^2-(4y)^2;,=,(9-4y)(9+4y);$