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EXOMATH, Rep��re: ��quation de droite

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Droite dans un repère

Comme nous l'avons déjà vu avec les fonctions affines, nous sommes capables de passer d'une fonction à sa représentation dans un repère. Dans le cas d'une fonction affine, la représentation de la fonction est une droite.

Nous profitons de cette leçon pour essayer de faire faire la distinction aux élèves entre trois notions étroitement liées mais toutes différentes!

1) la fonction $f$ peut être vue comme une formule qui à une valeur de $x$ donnée, dans l'ensemble de définition, associe un seul résultat

2) la représentation graphique de la fonction que l'on crée en plaçant les points de coordonnée $(x,f(x))$

3) la nouveauté: l'équation de la courbe qui s'écrit dans ce cas $y=f(x)$ (mais pas toujours). L'équation d'une courbe établit un lien entre $x$ et $y$.

Prenons par exemple la fonction affine $f(x)=2x-3$, la courbe représentative de cette fonction sera $y=2x-3$.

Que se passe-t-il si l'on écrit "$x=2$"? Cela signifie que $y$ est libre mais que $x$ fait toujours 2. On obtient alors une droite parallèle à l'axe des ordonnée. Comme pour $x=2", y peut prendre n'importe quelle valeur, on ne peut pas traduire cette situation par une fonction!

 

Propriété: Toute droite du plan admet une équation soit de la forme $x=c$ ('c' est un nombre, on a une droite verticale) soit $y=ax+b$ (droite oblique).

Comme déjà vu en troisième, dans $y=ax+b$, $a$ s'appelle le coefficient directeur de la droite et $b$ est l'ordonnée à l'origine.

Puisque $a$ est le coefficient directeur, on comprend facilement que deux droites d'équations $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$ seront parallèles si $a=a'$ et donc sécantes dans le cas contraire.

On peut facilement trouver $b$, car $b=f(0)$ et donne le point (0,b) qui appartient à la droite. Voici la formule qui donne le coefficient directeur : si A et B sont deux points distincts alors:
$ a={y_B-y_A}/{x_B-x_A}$

que l'on note aussi ${Δ_y}/{Δ_x}$ (variation des y divisé par variation des x). De ce fait, si ${x_B-x_A}=1$, alors $a={y_B-y_A}$. Le coefficient indique donc de combien d'unité on monte ou descend(s'il est négatif, lorsque l'on s'écarte de 1 unité vers la droite à partir d'un point de la droite. Prenons l'exemple: $y=0,5x-1$. Cette équation est une équation de droite oblique qui passe par A(0;-1) et de coefficient directeur 0,5. Lorsque je me place sur la droite, que je me décale de 1 unité horizontalement vers la droite, je dois monter ensuite de 0,5 pour retomber sur la droite.

Exercice important: Trouver l'équation de la droite qui passe par A(-5;7) et B(-1;3). C(2;-4) appartient-t-il à (AB)?

On calcule le coefficient directeur: $ a={y_B-y_A}/{x_B-x_A}={3-7}/{-1-(-5)}={-4}/{4}=-1$.

L'équation de la droite est de la forme $y=-1x+b$ soit $y=-x+b$. Puisque B appartient à la droite, le couple (-1;3) doit vérifier $y=-x+b$ donc $3=-(-1)+b$ donc $b=2$. L'équation est $y=-x+2$.

Vérifions si C appartient à (AB). Les coordonnées de C devraient vérifier $y=-x+2$, mais $-x+2=-2+2=0≠4$ donc $C∉(AB)$.