Lorsque deux suites admettent une limite finie ou infinie on peut parfois connaître la limite de la suite qui résulte de la combinaison des deux suites par l'une des opérations: addition, multiplication, division.
$\lim↙{n→∞}u_n+v_n$ |
|||
---|---|---|---|
$\lim↙{n→∞}u_n=l$ | $\lim↙{n→∞}u_n=+∞$ | $\lim↙{n→∞}u_n=-∞$ | |
$\lim↙{n→∞}v_n=m$ | $l+m$ |
$+∞$ |
$-∞$ |
$\lim↙{n→∞}v_n=+∞$ | $+∞$ |
$+∞$ |
??? |
$\lim↙{n→∞}v_n=-∞$ | $-∞$ |
??? |
$-∞$ |
$\lim↙{n→∞}u_n×v_n$ |
||||
---|---|---|---|---|
$\lim↙{n→∞}u_n=l,l≠0$ | $\lim↙{n→∞}u_n=0$ | $\lim↙{n→∞}u_n=+∞$ | $\lim↙{n→∞}u_n=-∞$ | |
$\lim↙{n→∞}v_n=m,m≠0$ | $l×m$ |
0 |
$+↙{-} ∞$ |
$+↙{-} ∞$ |
$\lim↙{n→∞}v_n=0$ | $l×m$ |
0 |
??? |
$-∞$ |
$\lim↙{n→∞}v_n=+∞$ | $+↙{-} ∞$ |
??? |
$+∞$ |
$-∞$ |
$\lim↙{n→∞}v_n=-∞$ | $+↙{-} ∞$ |
??? |
$-∞$ |
$+∞$ |
$\lim↙{n→∞}{u_n}/{v_n}$ |
||||
---|---|---|---|---|
$\lim↙{n→∞}u_n=l,l≠0$ | $\lim↙{n→∞}u_n=0$ | $\lim↙{n→∞}u_n=+∞$ | $\lim↙{n→∞}u_n=-∞$ | |
$\lim↙{n→∞}v_n=m,m≠0$ | $l/m$ |
0 |
$+↙{-} ∞$ |
$+↙{-} ∞$ |
$\lim↙{n→∞}v_n=0$ | $+↙{-} ∞$ |
??? |
$+↙{-} ∞$ |
$+↙{-} ∞$ |
$\lim↙{n→∞}v_n=+∞$ | 0 |
0 |
??? |
??? |
$\lim↙{n→∞}v_n=-∞$ | 0 |
0 |
??? |
??? |
Exemples:
La suite $u_n=2/{3n^2+5}$. On a $\lim↙{n→∞}3n^2+5=+∞$ donc $\lim↙{n→∞}u_n=0$.
La suite $v_n=2n^2-10n$. Si on utilise la somme, on a une forme indéterminée car $2n^2$ tend vers l'infini et $-10n$ tend vers moins l'infini. Il faut donc lever l'indétermination. Ici on peut factoriser: $v_n=2n(n-5)$. On a alors le produit de deux limites qui sont infinies donc $\lim↙{n→∞}v_n=+∞$.