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EXOMATH, Op��rations sur les limites

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Suites: opérations sur les limites

Lorsque deux suites admettent une limite finie ou infinie on peut parfois connaître la limite de la suite qui résulte de la combinaison des deux suites par l'une des opérations: addition, multiplication, division.

 
$\lim↙{n→∞}u_n+v_n$
  $\lim↙{n→∞}u_n=l$ $\lim↙{n→∞}u_n=+∞$ $\lim↙{n→∞}u_n=-∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=m$
$l+m$
$+∞$
$-∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=+∞$
$+∞$
$+∞$
???
$\lim↙{n→∞}v_n=-∞$
$-∞$
???
$-∞$

 

 
$\lim↙{n→∞}u_n×v_n$
  $\lim↙{n→∞}u_n=l,l0$ $\lim↙{n→∞}u_n=0$ $\lim↙{n→∞}u_n=+∞$ $\lim↙{n→∞}u_n=-∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=m,m0$
$l×m$
0
$+↙{-} ∞$
$+↙{-} ∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=0$
$l×m$
0
???
$-∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=+∞$
$+↙{-} ∞$
???
$+∞$
$-∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=-∞$
$+↙{-} ∞$
???
$-∞$
$+∞$

 

 
$\lim↙{n→∞}{u_n}/{v_n}$
  $\lim↙{n→∞}u_n=l,l0$ $\lim↙{n→∞}u_n=0$ $\lim↙{n→∞}u_n=+∞$ $\lim↙{n→∞}u_n=-∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=m,m0$
$l/m$
0
$+↙{-} ∞$
$+↙{-} ∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=0$
$+↙{-} ∞$
???
$+↙{-} ∞$
$+↙{-} ∞$
$\lim↙{n→∞}v_n=+∞$
0
0
???
???
$\lim↙{n→∞}v_n=-∞$
0
0
???
???

Exemples:

La suite $u_n=2/{3n^2+5}$. On a $\lim↙{n→∞}3n^2+5=+∞$ donc $\lim↙{n→∞}u_n=0$.

La suite $v_n=2n^2-10n$. Si on utilise la somme, on a une forme indéterminée car $2n^2$ tend vers l'infini et $-10n$ tend vers moins l'infini. Il faut donc lever l'indétermination. Ici on peut factoriser: $v_n=2n(n-5)$. On a alors le produit de deux limites qui sont infinies donc $\lim↙{n→∞}v_n=+∞$.