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EXOMATH, R��ciproque de Thal��s

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La réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès permet de montrer APRES des calculs que des droites sont parallèles.

  Réciproque du Théorème de Thalès :

  Si on a ${AD}/{AE}={AB}/{AC}$ et si les points  A, B, C et A, D, E sont alignés dans le même ordre alors (DB) et (EC) sont parallèles.

Faites donc attention !! Vous ne pourrez parler de réciproque du théorème de Thalès qu'après avoir calculé les deux fractions (travaillez en valeur exactes!!). Pour montrer que deux fractions sont égales il faut les écrire séparément. Il existe plusieurs méthode pour comparer des fractions :

- à la calculatrice uniquement si les résultats sont des valeurs exactes

- en les réduisant au même dénominateur

- avec un produit en croix (méthode la plus simple pour un collégien).

Pour les élève de seconde, la version vectorielle est bien plus simple :

Si ${AD}↖{→}=k{AE}↖{→}$ et si ${AB}↖{→}=k{AC}↖{→}$ alors ${DB}↖{→}=k{EC}↖{→}$

Ce qui implique la colinéarité donc le parallélisme.

 

Voici un exemple rédigé qui utilisera le produit en croix:

Sur la figure ci-dessous :

Les droites  ( AR )  et  ( CT )  sont parallèles.
Les points  E,  L,  R,  T  sont alignés.
Les points  C,  A,  L,  B  sont alignés.

On donne :

LC = 6 cm, LT = 9 cm, LA = 4, 8 cm, LB = 2 cm, LE = 3 cm, les droites  ( EB )et  ( CT )  sont-elles parallèles ?

E,L,T et B, L, C sont alignés dans le même ordre. On s'interesse aux fractions ${LE}/{LT}$ et ${LB}/{LC}$:

${LE}/{LT}=3/9$ et $ {LB}/{LC}=1/3$

Les produits en croix : 3 × 3 et 1 ×9 sont égaux donc ${LE}/{LT}= {LB}/{LC}$

alors d'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (EB) et (CT) sont parallèles.

Remarque :

- Si on avait pris les fractions inverses cela aurait été plus simple : ${LT}/{LE}=9/3=3$ et ${LC}/{LB}= 3/1=3$. Pas besoin de produit en croix !

- on aurait pu aussi simplifier : $3/9=1/3$

Bref, vous avez le choix mais un élève peu sûr de lui préfère appliquer 'mécaniquement' le produit en croix. D'autant qu'on utilise aussi cette technique en trigonométrie.