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EXOMATH, Additionner%20des%20vecteurs

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Vecteurs: addition

L'addition des vecteurs est une opération plus difficile qu'il n'y parait pour les élèves.

La définition vue en seconde est difficile:

La somme des vecteurs ${v}↖{→}$ et ${s}↖{→}$ est le vecteur ${w}↖{→}$ associé à la translation obtenue en enchaînant les translations de vecteur ${v}↖{→}$ puis ${s}↖{→}$. On note ${v}↖{→}+{s}↖{→}={w}↖{→}$.

Vu ainsi, ce n'est pas simple. Heureusement, nous avons la relation de Chasles qui est bien plus pratique:

Pour tous points A, B, C on a : ${AB}↖{→}+{BC}↖{→}={AC}↖{→}$.

Concrètement, pour additionner deux vecteurs, il suffit de les mettre l'un après l'autre. Cela est facile sur des carreaux.

Attention, la relation de Chasles est aussi très importante pour les démonstrations puisqu'elle dit que l'on peut décomposer tout vecteur comme la somme de deux vecteurs, il suffit d'intercaler un point.

L'autre méthode pour trouver ${AB}↖{→}+{BC}↖{→}$ est de tracer un parallélogramme. C'est cette méthode qu'on privilégie lorsque l'on n'a pas de carreaux. On rappelle que pour tracer un tel parallélogramme, on utilise le compas en reportant chaque longueur sur le côté d'en face (voir la leçon construction de parallélogramme pour plus de détail).

Voici les deux dessins :

Comment faire la somme de deux vecteurs lorsque ceux ci ne se suivent pas ou qu'ils n'ont pas la même origine? Il suffit de tracer un représentant du deuxième vecteur, à la suite du premier en utilisant la propriété fondamentale suivante: ${AB}↖{→}={CD}↖{→}$ est équivalent à ABDC est un parallélogramme.

Exemple, on cherche ${AB}↖{→}+{CD}↖{→}$ dans le cas suivant. On va tracer au compas un parallélogramme pour tracer un représentant de ${CD}↖{→}$ dont l'origine sera B. Il nous faut donc tracer un parallélogramme BMCD. On aura alors : ${AM}↖{→}={AB}↖{→}+{CD}↖{→}$.

Voici l'exemple en trois étapes:

On réalise au compas un parallélogramme

et enfin on trouve l'addition

Remarque: pourquoi pouvons nous parler d'addition? Parce que nous avons toutes les propriétés de l'addition:

-un élément neutre : ${0}↖{→}$. On a bien ${0}↖{→}+ {AB}↖{→}= {AB}↖{→}$

- la commutativité : ${AB}↖{→} +{CD}↖{→}= {CD}↖{→} +{AB}↖{→}$.

-l'associativité (on peut regrouper les additions dans l'ordre que l'on veut)

- le résultat de l'addition de vecteurs et un vecteur

C'est une loi de composition interne.