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EXOMATH, Coordonn��es de vecteurs

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Vecteurs dans un repère.

 

On peut facilement utiliser les vecteurs dans un repère. Cela nous permettra de démontrer des propriétés sur les vecteurs à l'aide uniquement de calculs.

Si (O,I,J) est un repère, on définit les coordonnées d'un vecteurs ${u}↖{→}$ comme celles du point M tel que ${OM}↖{→}= {u}↖{→}$.

Dans la pratique, on utilise plutôt la propriété suivante:

${AB}↖{→}({\table x_b-x_a;y_b-y_a})$

En clair, les coordonnées du vecteur sont le déplacement horizontal et le déplacement vertical qui permet de passer de A à B.

Avec la propriété ${u}↖{→}={u'}↖{→}$ si et seulement si ${\table x=x';y=y'}$ on peut montrer par le calcul que deux vecteurs sont égaux.

 

Avec la propriété, si ${{u}↖{→}({\table x;y})$ et ${{u'}↖{→}({\table x;y})$ alors ${u}↖{→}+{u'}↖{→}({\table x+x';y+y'})$ on peut calculer les coordonnées de l'addition de deux vecteurs.

Exemple 1: Soit dans un repère (O,I,J) les point A(3,-5), B(4,7). Montrer que si {CD}↖{→}({\table 1;12})$ alors ABDC est un parallélogramme.

Réponse: nous n'avons même pas besoin de faire un dessin (d'autant que nous ne savons pas où sont C et D!). Calculons les coordonnées de ${AB}↖{→}$.

${AB}↖{→}({\table x_b-x_a;y_b-y_a})$ donc ${AB}↖{→}({\table4-3;7-(-5)})$, finalement ${AB}↖{→}({\table1;12})$.

On a donc ${AB}↖{→}$=${CD}↖{→}$ ce qui revient à dire que ABDC est un parallélogramme.

Les élèves se trompent souvent à cause du -(-5) qui apparaît ici et qui devient +5.

Exemple 2: Soit en plus le point L(4,6,). Trouver le point K tel que ABKL soit un parallélogramme.

Réponse: Si ABKL est un parallélogramme on peut écrire que ${AB}↖{→}={LK}↖{→}$. Or, ${LK}↖{→}({\table x_K-x_L;y_K-y_L})$ donc ${LK}↖{→}({\table x_K-4;y_K-6})$ . Comme ${AB}↖{→}({\table1;12})$, on peut écrire le système: ${\{ \table x_K-4=1;y_K-6=12}$ qui donne $\{ {\table x_K=5;y_K=18}$.

Les coordonnées de K sont donc K(5,18).