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EXOMATH, Vecteur X r��el

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Vecteur multiplié par un réel

Si on additionne un vecteur à lui même: ${u}↖{→}+ {u}↖{→}$, on a naturellement envie de dire que l'on a pris deux fois le vecteur ${u}↖{→}$. C'est ainsi que l'on définit naturellement la multiplication d'un vecteur par un réel et on écrira ici ${u}↖{→}+ {u}↖{→}=2 {u}↖{→}$.

Voici les propriétés qui en découlent :

Si ${{u}↖{→}({\table x;y})$, ${{u'}↖{→}({\table x';y'})$et k,k' deux nombres réels:

${k{u}↖{→}=({\table kx;ky})$

$k({u}↖{→}+{u'}↖{→})=k{u}↖{→}+k{u'}↖{→}$ distributivité

$(k+k'){u}↖{→}=k{u}↖{→}+k'{u}↖{→}$ (encore la distributivité)

$k(k'{u}↖{→})=(kk'){u}↖{→}$ (associativité)

$k{u}↖{→}={0}↖{→}$ si, et seulement si, $k=0$ ou ${u}↖{→}={0}↖{→}$

Un exemple important :

Si $3{u}↖{→}={0}↖{→}$ alors forcément ${u}↖{→}={0}↖{→}$ puisque 3≠0.

Au final ces règles sont assez intuitives puisque ce sont (presque) les mêmes que celles vues entre l'addition et la multiplication des réels (au détail près qu'ici on multiplie des nombres et des vecteurs donc des élèments de deux ensembles différents! (loi de composition externe).