Définir un repère du plan avec des vecteurs
Pour définir un repère du plan en utilisant des vecteurs, il faut avoir deux vecteurs non colinéaires et un point. Voici par exemple le repère (O,${{i}↖{→}$,${{j}↖{→}$).
Ceci est une notion difficile pour les élèves car ils ont l'habitude du repère orthogonal (voir orthonormé) avec des axes qui sont des droites et surtout...c'est le professeur qui donne le repère.
Bien souvent, lorsque l'on définit un repère du plan à l'aide de vecteurs c'est une initiative personnelle. Le plus difficile dans les exercices où l'élève est amené à définir par lui même un repère avec des vecteurs est de choisir le bon repère: la bonne origine et les bons vecteurs. De ce choix va dépendre la lecture des coordonnées des autres points de l'exercice. Un bon choix peut rendre un exercice très simple.
Exemple :
On veut montrer que les points B,E,F sont alignés. On sait que ABCD est un carré, CFD et ADE des triangles équilatéraux.
Réponse: Si on choisit le repère (A,D,B) alors A(0,0), B(0,1), D(1,0) et C(1,1).
Le théorème de Pythagore dit que la hauteur d'un triangle équilatéral est $√3/2$ fois la base.
Or dans le repère (A,D,B), AD=1 unité et la hauteur fait $√3/2$ unités.
On trouve alors E(0,5;$√3/2$) et F(1+$√3/2$;0,5).
On calcule les coordonnées de ${BE}↖{→}$ et ${BF}↖{→}$.
${BE}↖{→}({\table 0.5-1;1-√2})$
et ${BF}↖{→}({\table 1+√3/2-0;0.5-1})$.
Il reste à montrer que ${1+√3/2}/{-0,5}$ est égal à ${-0.5}/{1- √3/2}$. Pour cela, on peut faire un produit en croix qui fera apparaître une identité remarquable: $(1-√3/2)(1+√3/2)=1-3/4=0.25$ et $-0.5×(-0.5)=0.25$.
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires.
Commentaires: cet exemple montre à quel point toutes les connaissances accumulées au collège finissent par être indispensables. Cet exercice fait intervenir:
- le théorème de Pythagore
- le fait que le pied de la hauteur dans un triangle équilatéral est le milieu de la base (hauteur et médiane confondue)
- montrer que des fractions sont égales ou que des grandeurs sont proportionnelles.
- identités remarquables (a-b)(a+b)=a²-b²
- savoir calculer avec des racines carrées
- utiliser un repère que l'on définit soit même
- montrer que des vecteurs sont colinéaires pour montrer l'alignement
......cela fait beaucoup et pourtant au final il n'y a aucune étape compliquée !
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